Quando olhamos para um problema matemático, a primeira reação costuma ser buscar o caminho mais direto: aplicar operações, seguir regras de prioridade e chegar ao resultado. Esse é um recurso válido — o aritmético — e muitas vezes suficiente. Mas limitar-se a ele é como enxergar apenas uma parte da paisagem.
O desafio da figura inicial foi postado no Linkedin de Jaci Natal Tasca, o qual eu sigo e acompanho a publicação dos desfios matemáticos postados por ele. Algumas vezes interajo, respondendo alguns desafios, outras olho somente as respostas que são dadas e outras só vejo os desafios e respondo para mim mesmo.
Nesse desafio, o que chamou minha atenção não foi o desafio em si, que não é um desfio difícil e que envolve diversas operações matemáticas e regras de prioridades para executar uma operação, mas sim pelas respostas dadas: alguns responderam que é 5, outros que é 1, outros ainda que é 3. Porém, a resposta resposta correta é que ? = 1 ou ? = 5. Isso mesmo: esse problema admite duas respostas distintas. Isso porque não há uma delimitação dos valores de x ou y, como por exemplo serem números inteiros positivos. Então, respondi que o motivo de as duas respostas estarem corretas e fiquei pensando no motivo de levar as pessoas errarem esse desafio.
Para alguns, o único recurso para resolver o desasfio é o algébrico/aritmético. E verdade seja dita, esse é um bom recurso, contudo não é o único. Vou resolver usando esse recurso e depois vamos ver um outro recurso, que é muito importante e eficaz em situação que a álgebra seria muito trabalhosa ou impossível de usar.
O desafio proposto é um sistema de 3 equações, conforme a seguir:
Resolvendo cada uma das equações separadamente, tem-se:
O primeiro erro que a maioria das pessoas comete é na resolução da primeira equação: consideram que x² = 9 é 3, desconsiderando o valor negativo. Isso acontece porque x² = 9 pode ser traduzido para linguagem materna como “qual é o número que elevado ao quadrado, ou multiplicado por ele mesmo, resulta em 9?”. É muito comum só considerarem somente a resposta positiva pois √9 = 3. Logo, que respondeu que ? = 5, usou o valor positivo de x e quem respondeu ? = 1, usou o valor negativo, o que é mais improvável de ocorrer.
O segundo erro que muitos cometem é desconsiderar a 1ª equação e usar o valor da 2ª equação na 3ª equação: como x + y = 9, x + y ÷ 3 = ?→ 9 ÷ 3 = ? → 3 = ?. Esse erro é cometido porque considera-se as equações separadamente e não como um sistema. Além desse erro, ainda é não considerar a prioridade da divisã na 3ª equação.
Porém, o meu ponto não é sobre os erros cometidos e os motivos de serem cometidos (isso pode ser assunto para uma próxima conversa), e sim qual(is) outro(s) recurso(s) pode(m) ser utilizado(s) para resolver esse mesmo desafio. Como professor que adoto a resolução de problemas como metodologia de ensino/aprendizagem em minhas aulas, sempre incentivo meus alunos a terem diversos recursos para que ao resolveram um determinado problema não ficaram presos a uma só estratégia de resolução.
Considero como recurso o arsenal de ferramentas matemáticas e de conteúdo para resolver problemas. O recurso pode ser uma fórmula, uma propriedade, pode ser geométrico, algébrico, aritmético, entre tantos outros. Qual recurso usar, quando usar e como usar é a estratégia adotada.
Na resolução apresentada do desafio, eu usei o recurso algébrico/aritmético e esse recurso foi usado sem grandes dificuldades. Porém, se ampliamos o olhar, é possível notar que a 1ª equação é uma equação do 2º grau incompleta (b = 0). Nesse caso, se houverem raízes (e especificamente nesse caso há), as raízes serão distintas e simétricas. Assim, só de visualizar as raízes da primeira equação é possível saber que o desafio pode ter duas soluções e não somente uma.
Além disso, é possível usarmos o recurso gráfico e com isso a compreensão se torna muito mais rica. Ao desenhar no plano cartesiano as equações envolvidas, conseguimos visualizar as raízes, perceber simetrias e entender de forma imediata o que está acontecendo. A intersecção das duas equações mostra claramente os pares de soluções possíveis, confirmando os cálculos e oferecendo uma nova perspectiva.
Vejamos a seguir como fica a resolução gráfica do desafio. Primeiro, vamos desenhar a primeira equação no plano cartesiano e em seguida, desenhar a segunda equação no mesmo plano, conforme as duas figuras a seguir:
Surpreso por a representação gráfica não ser uma parábola? Pois é, não é uma parábola e sim duas retas paralelas ao eixo 0y que passa intercepta o eixo 0x em x = -3 e x = 3, conforme esperado (e calculado na resolução algébrica). Desenhando a 2ª equação no mesmo plano, tem-se
Repare a segunda equação representa uma reta que intercepta o eixo 0x em x = 9 e intercepta as duas retas (soluções da 1ª equação) nos pontos (-3,12) e (3,6). E qual os significado desses pontos? São os valores de x e y que vem ser substituídos na 3ª equação para encontrarmos os valores de ?.
Não estou dizendo com isso que para resolver o desafio em questão, é necessário desenhar os gráficos ou ainda que desenhá-los seja a maneira mais rápida ou fácil de resolver esse desafio especificamente. Ao contrário, o caminho algébrico é provavelmente mais curto. O que estou defendendo é que a resolução gráfica oferece uma compreensão diferente e,muitas vezes, mais profunda da situação.
Essa visualização gráfica é um recurso poderoso. Ela não substitui os outros, mas amplia nossa capacidade de análise. Em muitos casos, especialmente em geometria (plana, espacial ou analítica), se não conseguimos “ver” o problema, corremos o risco de escolher estratégias equivocadas ou muito trabalhosas.
Ao longo dos anos, percebi que muitos estudantes têm dificuldade não por falta de capacidade matemática, mas porque conhecem poucos recursos para enfrentar um problema. Quando uma estratégia não funciona, eles ficam sem alternativas.
Cada recurso revela aspectos diferentes do mesmo problema. E há situações em que determinado recurso não é apenas conveniente, mas praticamente indispensável. Um exemplo clássico aparece no estudo dos números complexos. Diversas operações podem ser realizadas na forma algébrica, mas, quando trabalhamos com multiplicações, divisões, potenciações e radiciações, a forma trigonométrica se torna muito mais simples, elegante e manipulável.
Em outros casos, a interpretação gráfica é o caminho mais natural. Isso acontece frequentemente em Geometria Analítica, no estudo de funções e em diversos problemas envolvendo otimização, crescimento, decrescimento e interseções.
Assim, sempre que possível, procuro mostrar diferentes formas de pensar uma mesma situação. Quando um aluno pergunta: “Professor, qual é o jeito mais fácil?”, costumo responder que o jeito mais fácil é aquele para o qual estamos preparados. E só nos preparamos quando ampliamos nosso repertório de recursos.
Afinal, não sabemos qual será o próximo problema que teremos pela frente. Mas sabemos que quanto maior for nossa caixa de ferramentas matemáticas — aritméticas, algébricas, geométricas e gráficas — maiores serão nossas chances de encontrar um bom caminho para resolvê-lo.
O cerne é: precisamos incentivar o uso de diferentes. Portanto, mais do que ensinar um único caminho, devemos mostrar aos estudantes que a matemática é um arsenal de ferramentas. Quanto mais recursos dominamos, mais fácil se torna resolver problemas — e aquilo que parecia difícil passa a ser apenas mais uma estratégia que aprendemos a usar. Enfatizar a visualização gráfica como recurso é essencial: ela abre horizontes, confirma resultados e nos ajuda a compreender a matemática de forma mais ampla e significativa.
Resolver problemas não significa apenas aplicar regras ou executar cálculos corretamente, mas desenvolver a capacidade de enxergar diferentes caminhos possíveis para compreender uma situação. Ao explorar o mesmo desafio por perspectivas algébricas e gráficas, fica evidente que cada recurso matemático revela aspectos distintos do problema e amplia nossa compreensão sobre ele.
Mais do que encontrar uma resposta, aprender matemática envolve construir repertório, flexibilidade e autonomia intelectual. Quando o estudante domina diferentes recursos — aritméticos, algébricos, geométricos e gráficos — ele passa a analisar problemas com mais segurança, criatividade e criticidade, escolhendo estratégias mais adequadas para cada contexto.
Nesse sentido, a visualização gráfica ocupa um papel essencial, pois transforma cálculos abstratos em representações concretas e perceptíveis, permitindo identificar padrões, simetrias, interseções e comportamentos que muitas vezes passam despercebidos em uma abordagem exclusivamente algébrica. Ela não substitui outros métodos, mas complementa e fortalece a compreensão matemática.
Dessa forma, ensinar matemática deve ir além da transmissão de procedimentos prontos. É fundamental incentivar os estudantes a ampliar sua “caixa de ferramentas”, explorando diferentes recursos e formas de pensar. Afinal, quanto maior for esse repertório, maiores serão as possibilidades de compreender, interpretar e resolver problemas de maneira significativa.
